ALGEBRA

LENGUAJE ALGEBRAICO

El álgebra permite resolver problemas mediante representaciones simbólicas (algebraicas), las cuales pueden contienen valores conocidos (constantes) y desconocidos (variables). Ejemplo: 3x + 4, 3 y 4 son constantes y x es la variable.

Términos algebraicos

Un término algebraico es aquella expresión algebraica que no contiene entre constantes o variables adiciones o sustracciones.  12x³y²; -5abz² 

En un término  algebraico se identifican los siguientes elementos:

Signo: Puede ser positivo o negativo.

Coeficiente: Es el número real que acompaña a las variables.

Exponente: Indica el número de veces que la variable se multiplica.

Parte literal: Son las variables con sus respectivos exponentes.

MONOMIOS

POLINOMIOS

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Es el resultado de reemplazar las variables por números y realizar las operaciones que resulten en un polinomio.

Ej: hallar el valor numérico del polinomio 5mn + 3m^2 sí m es 2 y n es 3

5(2)(3) + 3(2)^2 = 30 + 3(4) = 30 + 12 = 42

OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS

Las operaciones entre polinomios son muy importantes, ya que sirven para todos los procesos algebraicos.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MONOMIOS

Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes, sumando o restando los coeficientes y dejando la misma parte literal.  Ej:

2xy + 4xy - 5xy = (2 + 4 - 5)xy = 1xy = xy

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Para sumar polinomios: se escriben los polinomios y se reducen términos semejantes.

Ej: sumar 2ab - 3b + 5c; con 6ab + 5b - 8c.

(2ab - 3b + 5c) + (6ab + 5b - 8c) = 2ab - 3b + 5c + 6ab + 5b - 8c = (2+6)ab +(-3+5)b +(5-8)c

= 8ab + 2b +(-3)c = 8ab + 2b - 3c

Para restar dos polinomios: se escribe el minuendo y se le suma el opuestondel sustraendo, después, se reducen términos semejantes. Ej:

Restar 2x + 3y de 4x - 5y , se plantea la operación

(4x - 5y) - (2x + 3y) = 4x - 5y - 2x - 3y = (4-2)x + (-5-3)y = 2x - 8y

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

Los signos de agrupación que se utilizan son los paréntesis ( ), los corchetes [ ], y las llaves { }.

Los signos de agrupación se eliminan de adentro hacían afuera teniendo en cuenta que si antes del signo de agrupación hay un signo más, los elementos dentro de él conservan su signo; pero si antes del signo de agrupación hay un signo menos, las cantidades dentro de él cambian de signo, finalmente se reducen términos semejantes: 

Ej: - 9 - { 2x + 3y - [ 5x - 8y +3 +(4x - 2y)]}

 9 - { 2x + 3y - [ 5x - 8y +3 + 4x - 2y]},  se eliminan los paréntesis, no cambian de signo

 9 - { 2x + 3y -  5x + 8y - 3 - 4x + 2y},  se eliminan los corchetes, cambian de signo

 9 -  2x - 3y + 5x - 8y + 3 +4x - 2y, se eliminan las llaves, cambian de signo

(9+3) + (-2+5+4)x  + (-3-8-2)y = 12 + 7x - 13y, se reducen términos semejantes 

7x - 13y + 12, se ordenan.

OPERACIONES MULTIPLICATIVAS ENTRE POLINOMIOS

Es muy importante tener en cuenta las propiedades de la potenciación para realizar multiplicaciones y divisiones entre polinomios:

Propiedades de la potenciación

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS

Para multiplicar monomios es importante cumplir las siguientes leyes:

DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE OTRO POLINOMIO

Para dividir dos polinomios se puede utilizar el método habitual  o la división sintética o regla de Ruffini cuando el divisor es de la forma x más o menos a.

Método Habitual:

• Se ordenan los polinomios en forma descendente con respecto a una variable.
• Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.
• El resultado de la división se multiplica por el divisor y el resultado se resta al dividendo teniendo en cuenta los términos semejantes, si no tiene término semejante se ha dejado un espacio en blanco o se escribió el cero.
• Se baja el término siguiente y se procede como el paso anterior.
• Se continua hasta que el grado del dividendo sea inferior al grado del divisor si no es exacta se obtiene un residuo.

División Sintética:

• Se escriben los coeficientes del dividendo en forma ordenada, si la variable no tiene una potencia se completa con cero.
• Al lado se escribe el termino independiente del binomio divisor con signo contrario.
• Se baja el primer coeficiente, se multiplica por el divisor colocando el resultado debajo del segundo término del dividendo, se realiza la operación respectiva.
• El resultado de la operación se multiplica por el divisor, se coloca debajo del tercer término del dividendo y se realiza la suma o resta respectiva.
• Se continua el proceso hasta completar todos los términos.
• El resultado de la división son los primeros coeficientes con un grado inferior al dividendo, el último coeficiente es el residuo de la división.

Teorema del Residuo:

Es otra forma de encontrar el residuo de una división, donde el divisor es de la forma x más o menos a.  Para hallar el residuo se calcula el valor numérico del dividendo para el término independiente del divisor con signo contrario.

Ej:

OPERACIONES COMBINADAS ENTRE POLINOMIOS

Se recomienda  suprimir los signos de agrupación resolviendo las operaciones indicadas dentro de ellos, se debe considerar el orden de las operaciones teniendo en cuenta que primero se realizan las multiplicaciones y divisiones, luego las sumas o restas siempre de izquierda a derecha.

PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Existen productos y cocientes que se utilizan mucho en matemáticas, por tal motivo se han clasificado y establecido maneras de obtenerlos sin realizar multiplicaciones ni divisiones así:

PRODUCTOS NOTABLES

Cuadrado de un binomio

Se puede presentar dos casos cuando se tiene el cuadrado de la suma de dos términos y el cuadrado de la diferencia de dos términos.

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más dos veces el primer término por el segundo término, más el segundo término al cuadrado.
   
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos dos veces el primer término por el segundo término, más el segundo término al cuadrado.

Cuadrado de un trinomio

El cuadrado de la suma de tres términos es igual a la suma de los cuadrados de los términos más el doble producto del primer termino por el segundo, más el doble producto del primer término por el tercero y más el doble producto del segundo término por el tercero.

Producto de la suma por la diferencia

La suma por la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

Producto de dos binomios con un término común

Es igual al cuadrado del término común más el producto de la suma de dos términos no comunes por el término común, más el producto de los términos no comunes.

Cubo de un binomio

Existen dos casos el cubo de la suma y el cubo de la diferencia.

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segunda, más el cubo del segundo término.

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo término, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segunda, menos el cubo del segundo término.

TRIÁNGULO DE PASCAL

Es una serie de números que permite hallar los coeficientes de suma o diferencia de binomios elevados a cualquier potencia

1

1     1

1     2     1

1     3     3     1

1     4     6     4     1

1     5     10     10     5     1

1     6     15     20     15     6     1

1     7     21     35     35     21     7      1

1     8     28     56     70     56     28     7      1

    1    9    36    84    126    126    84      36      9      1     

Ejemplos de aplicación:

COCIENTES NOTABLES

Es importante en el momento de encontrar el cociente de una división exacta, sin realizar la división, los siguientes puntos:

• El número de términos del cociente es igual al exponente de los términos del dividendo.
• El primer término del cociente tiene un exponente menor que el primer término del dividendo y va disminuyendo de uno en uno.
• El segundo término del cociente tiene como exponente uno del segundo término del divisor y va aumentando de uno en uno.
• Cuando el divisor es una diferencia, los términos del cociente son positivos.
• Cuando el divisor es una adición, los signos del cociente se alternan empezando por el positivo.

FACTORIZACIÓN

Factorizar un polinomio significa escribirlo como factor de polinomios diferentes a él.

Ej. 16mn = 2x2x2x2xmxn.

Factorización de monomios

Un monomio se puede expresar como el producto de factores de varias maneras.

FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN 

La factorización de un polinomio esta asociada a la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición. Ej.  La factorización de ax + bx = x(a+b).

En la factorización por factor común se pueden presentar tres casos

1. FACTOR COMÚN MONOMIO  

Es el producto del máximo común divisor de los coeficientes de todos los términos por las variables comunes con menor exponente. para lo cual se debe hacer:

• Se halla el factor común
• se divide cada término en  el factor común
• se escribe el factor común, seguido en paréntesis con los resultados de cada división.

2. FACTOR COMÚN POLINOMIO  

Para el caso se tiene que el factor común no es un monomio sino un polinomio. para lo cual se debe hacer:

• Se halla el factor común
• se divide cada término en  el factor común
• se escribe el factor común, seguido en paréntesis con los resultados de cada división.

3. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

En algunos casos un polinomio no tiene términos en común, sin embargo, se pueden agrupar de tal forma que los grupos que se obtengan tengan factor común, para al final sacar factor común de los resultados.

4. FACTORIZACIÓN DE BINOMIOS

Para la factorización de binomios se tienen en cuenta los productos y cocientes notables.

4.1  FACTORIZACIÓN DE DIFERENCIA DE CUADRADOS 

Para que un binomio sea la  diferencia de cuadrados se debe cumplir:

• El binomio debe tener dos términos separados por el signo menos.
• Los dos términos deben estar elevados al cuadrado.

Si se cumple las condiciones anteriores, se puede factorizar el binomio así. El producto de la suma de sus raíces cuadradas por la diferencia de sus raíces cuadradas.

4.2  FACTORIZACIÓN DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE CUBOS 

Para que un binomio sea suma o diferencia de cubos se debe cumplir:

• El binomio debe tener dos términos separados por el signo más o menos.
• Los dos términos deben tener raíces cúbicas exactas.

Si se cumple las condiciones anteriores, se puede factorizar el binomio así. El producto de la suma o diferencia de sus raíces cúbicas por un trinomio de términos: el cuadrado de la primera raíz cúbica menos o más el producto de la primera raíz cubica por la segunda, más la raíz cubica del segundo término así:

4.3  FACTORIZACIÓN DE LA SUMA O LA DIFERENCIA DE POTENCIAS IGUALES.

En este caso hay que tener en cuenta los cocientes notables  para saber si es factorizable una suma o diferencia de potencias iguales así: 

Para factorizar se despeja el binomio como se observa en el ejemplo: 

5.  FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS

Existen tres clases de trinomios así:

5.1  FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto debe cumplir:

• El trinomio debe estar ordenado con respecto a una de sus variables
• El primer y tercer término sean positivos y sean cuadrados perfectos, osea que tengan raíces cuadradas.
• El segundo término sea el doble producto de las raíces del primer y tercer término.

La factorización de este trinomio consiste en: El cuadrado de la suma o diferencia de las raíces cuadradas del primer y tercer termino.

5.2  FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO CUADRADO PE{RFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Cuando un trinomio cumple las condiciones para que sea trinomio cuadrado perfecto, menos la condición de que el segundo término sea el doble producto de las raíces del primer y tercer término, se busca un término semejante de tal manera que al sumarlo cumpla con todas las condiciones, como se sumo es necesario también restarlo para no alterar la expresión. Al final se obtiene una diferencia de cuadrados y se resuelve como en el siguiente ejemplo:

5.3  FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2n+bxn+c

Para que el trinomio sea de este tipo debe cumplir las siguientes características:

• El primer término sea cuadrado perfecto y coeficiente uno.
• El segundo término tenga la misma variable que el primer término con exponente la mitad.
• El tercer termino sea independiente.

Para factorizar se halla la raíz del primer término, y se escribe en dos paréntesis, se buscan dos números que multiplicados den el tercer término y sumados el coeficiente del segundo término.

 Ej: 

5.4  FACTORIZACIÓN DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2n+bxn+c

Para que el trinomio sea de este tipo debe cumplir las siguientes características:

• El primer término tenga coeficiente diferente de uno.
• El segundo término tenga la misma variable que el primer término con exponente la mitad.
• El tercer termino sea independiente.

Para factorizar se multiplica el coeficiente del primer término por todos los términos dejando indicado en el segundo término, se divide también por el mismo coeficiente para no alterar el trinomio y se procede de la misma manera que en el  caso anterior, al final se simplifica uno o los dos factores

 Ej: 

6.  FACTORIZACIÓN DE UN CUBO PERFECTO

Para que sea un cubo perfecto se debe cumplir:

• Tener cuatro términos
• Primer y cuarto término ser cubo perfecto
• Segundo termino sea el triple producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto término
• Tercer termino sea el triple producto d de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término
• El primer término y el tercero sean positivos, el segundo y tercer tengan el mismo signo

Para factorizar se saca la raíz cubica del primer y cuarto término y se eleva al cubo, si todos los signos son positivos el binomio es positivo, si los signos se alternan, positivo negativo, el binomio es negativo

Ej:

7.  FACTORIZACIÓN COMPLETA

Existen ocasiones en donde se puede factorizar una expresión aplicando varios casos de factorización.

Ej: