ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

Encuentra las palabras escondidas en el siguiente estereograma.

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ESTADÍSTICA  ASPECTOS INICIALES

La Estadística es la ciencia que se encarga la recolección, organización, presentación y análisis de datos.

Para la recolección se puede utilizar varios instrumentos, entre los que se encuentran las entrevistas, encuestas, bases de datos ya existentes, formularios, etc.

Para la organización se puede utilizar los diagramas de tallo y hojas, las tablas de distribución de frecuencias, donde se tienen aspectos importantes como: frecuencia absoluta, frecuencia relativa, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa acumulada, frecuencia relativa porcentual, etc.

Para la presentación de los datos, se puede utilizar: histogramas, gráficos circulares, polígonos de frecuencia, ojivas, etc.

Para el análisis de la información se pueden utilizar medidas de posición (media, mediana, moda, percentiles, deciles y cuartiles) y medidas de dispersión (rango, varianza y desviación estándar).

La estadística actualmente se ha convertido en una herramienta importante para varios aspectos sociales, por ejemplo para los registros de la población, para los servicios de salud, impuestos, servicios públicos, entre otros; convirtiendo en un instrumento fundamental de la sociedad las bases de datos.

Constantemente se hace necesario realizar un análisis estadístico y se debe tener cuidado con las interpretaciones que se hacen a los estudios para no dar falsas informaciones.

 CARACTERIZACIÓN DE VARIABLES CUANTITATIVAS PARA DATOS NO AGRUPADOS

Teniendo en cuenta que una variable cuantitativa es la que es representada por números, la caracterización de estas variables consiste en analizar el comportamiento de cada uno de los datos.

Para caracterizar variables cuantitativas se tiene en cuenta que la presentación de la información se puede hacer por medio de:

•          Diagramas de tallo y hojas
•          Tablas de distribución de frecuencias
•          Histogramas
•          Polígonos de frecuencias
•          Ojivas

Para caracterizar variables cuantitativas para datos no agrupados se utilizan las medidas de localización:

•          Media
•          Mediana
•          Moda
•          Percentiles
•          Deciles
•        Cuartiles

MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN CENTRAL

Estas medidas son la media, la mediana, la moda y determinan la localización de un valor respecto a un grupo de datos.

MEDIA

Es la medida más representativa y usada, se calcula teniendo en cuanta los valores de la población o muestra, sumando los valores y dividiéndolo en el total de datos.

Muchas veces la media no es un valor representativo de un grupo de valores, esto ocurre cuando existen datos muy distantes a la media.

MEDIANA 

Esta medida se calcula ordenando los datos de menor a mayor y tomando el dato central (si el número de datos es impar) o el promedio de los dos datos centrales( si el número de datos es par). 

MODA

Es el valor de los datos que tiene mayor frecuencia.

Ejemplo:  

Se le pregunto a un grupo de estudiantes del grado octavo de la Institución Educativa Casilda Zafra por su estatura, para determinar si de ese grupo hay estudiantes que pueden dar un rendimiento en un equipo de voleibol. Los resultados fueron:

(medida en centímetros)

154	162	152	150	150	156	146	147	172
155	160	172	168	170	167	160	156	157	180

Determinar las medidas de tendencia central y hacer una interpretación de ellas.

Conclusiones:  El 50% del curso tiene estatura mayor que 157cm

La altura de algunos estudiantes da para sacar un buen equipo de voleibol

La media aritmética es de 159,68 cm lo cual indica que en el salón existe un buen promedio para jugar voleibol.

Actividad:

Se pregunto a los estudiantes de grado octavo por su promedio de la nota de Matemáticas del año inmediatamente anterior. El docente necesita este dato para poder aplicar algunas estrategias de mejoramiento. Los resultados fueron:

4,4	3,3	3,7	3,1	3,6	2,5	2,8	2,7	4	3,6	3,8
3,9	3,8	3,1	3	4,5	4	3,2	3,5	2,9	2,1	3

Encuentra las medidas de tendencia central y menciona por lo menos tres conclusiones a las que puede llegar el profesor sobre el curso

PERCENTILES

Los percentiles son valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en 100 partes porcentualmente iguales.

p₁, p₂, p₃,  p_k+1, p₄, … p₉₉. Se dice que el k-énesimo percentil es un valor tal que a lo más k% de los datos es menor que él y a lo más  (100-k)% es mayor que él.

Para hallar el percentil se puede presentar dos casos al aplicar la siguiente ecuación:

 i = (k/100)n

Donde k es el número del percentil y n es el número de datos de la muestra.

1   

     

     1.  Si el resultado de evaluar i es un número entero se busca los datos que corresponden a la posición i y a la posición (i+1) el percentil es la posición promedio de estos dos datos.

2.  Si al operar i el resultado es un número decimal, se aproxima al entero inmediatamente superior y el percentil buscado es el dato que ocupa esa posición.

Ejercicio de aplicación:

El profesor de matemáticas pregunto a un grupo de estudiantes de grado octavo por la calificación de la evaluación del 40%. Los resultados fueron:

3,4	4,2	2,6	3	2,4	3
2,8	3	2,2	3,8	2,8	3,4
3,2	4	4	2,2	3	2,8
4,5	2	4	2,8	4,4	3
2,2	3,8	3	3,2	2	2,2
2,6	2,5	2,6	3	2,2	3
2,2	2	4,2	4,5
3,2	4,5	3,4	4

Determinar el valor de P34, P80 y P52.  Escribir una interpretación de dichos valores.

Primero se ordenan los datos en forma ascendente, para lo cual se puede utilizar el diagrama de tallo y hojas:

Segundo se calculan los coeficientes para los percentiles pedidos:

Finalmente se puede concluir que aproximadamente el 50% de los estudiantes superaron la prueba y que el 20% obtuvieron una calificación superior 4,0.  Lo que demuestra que el docente tiene que revisar sus estrategias y/o buscar nuevas metodologías para mejorar el resultado de aproximadamente el 50% de los estudiantes.

DECILES Y CUARTILES

Los deciles (d) y cuartiles (Q) dividen al grupo de datos en 10 y 4 partes porcentuales iguales. Siendo los más representativos los cuartiles, ya que los tres cuartiles dividen los datos en 25%, 50% y 75%, dando posiciones estrategias para un análisis estadístico.

Para calcular el valor i se hace de la misma manera que con los percentiles y se tiene en cuenta las mismas consideraciones. 

Es importante tener en cuenta que el d1=P10, d2=P20, d3=P30...
Q1=P25, Q2=P50=d5,  Q3=P75

EJERCICIO DE APLICACIÓN

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

EJEMPLO DE APLICACIÓN:

EJERCICIO PARA PRACTICAR:

Caracterización de variables cuantitativas continúas para datos agrupados

•Una variable continua es cuando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo de valores, ejemplo: la estatura, el peso, distancia, etc.

•La caracterización se realiza de la misma forma que para variables discretas.

•La caracterización se realiza teniendo en cuenta:

•Tablas de distribución de frecuencias:

•Las variables se caracterizan  teniendo en cuenta las clases (intervalos).

•El tamaño de cada intervalo debe ser el adecuado.

•El límite inferior de cada intervalo es cerrado y el límite superior es abierto.

•Diagramas de tallo y hojas.

•Histogramas

•Polígonos de frecuencia

•Ojivas

Ejemplo: 

En un centro médico especializado en pacientes con diabetes, se practica la prueba de hemoglobina A1C (combinación de  hemoglobina parte de los glóbulos rojos que transporta oxigeno y glucosa tipo de azúcar en la sangre) realizó dicho examen durante un mes a 40 pacientes diabéticos.


Caracterizar la variable "resultados de la prueba de hemoglobina A1C” usando las siguientes clases: [4,7 – 5,7); [5,7 – 6,7); [6,7 – 7,7); [7,7 – 8,7); [8,7 – 9,7)

Actividad

MEDIA PONDERADA

Esta fórmula se definió como la media muestral, en este caso todos los datos  tienen la misma importancia siendo lo más común al calcular las medidas de tendencia central. Sin embargo, hay casos que tienen datos con mayor peso o importancia.

Cuando  se quiere calcular la media de un conjunto de datos, donde uno tiene una importancia diferente que refleja un mayor “peso” osea, una ponderación, se utiliza la siguiente expresión:

Ejemplo: El dueño de un restaurante hace diferentes pedidos de carne mensualmente.

Tomado de los Caminos del Saber Matemáticas 8° Santillana.

CONJUNTOS Y EVENTOS

PROBABILIDAD Y CONJUNTOS

La probabilidad de que un evento ocurra dentro de un espacio muestral esta determinado por la siguiente expresión:

P(E) = #(E) / #(EM)

El número de elementos del evento es #(E)

El número de elementos del espacio muestral es #(EM)

Muchas veces para determinar el número de elementos favorables #(E) y número de elementos posibles #(EM) de un experimento aleatorio se acude a la representación de los conjuntos y sus operaciones por medio de un diagrama de venn.

PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN

En algunos experimentos aleatorios no es tan fácil hallar el espacio muestral necesario en la teoría de la probabilidad, en este caso se utilizan técnicas de conteo, como el principio de multiplicación.

Principio de multiplicación: Se aplica en un experimento aleatorio en la que hay orden y repetición. Y el espacio muestral es N(EM) = Nⁿ donde N es el tamaño de la población y n una muestra.

En este caso como el orden y la repetición es importante, por ejemplo  se tiene que un dígito se puede repetir en tanto en las unidades como en las decenas y además cada número depende del orden de los dígitos ya es diferente tener por ejemplo 35 que 53.

Los elementos del espacio muestral se pueden representar en un diagrama de árbol.

Principios de multiplicación con varios eventos

El principio se aplica a experimentos aleatorios que constan de varios eventos, de tal forma que el primer evento tiene N₁ posibilidades, el segundo evento tiene N₂ posibilidades y así sucesivamente si hay      i-ésimo evento, la cantidad de elementos del espacio muestral es: 

 N(EM) = N₁ x N₂ x N₃ x … x N_i

En este caso, implica que los eventos ocurren uno tras otro.

Ejemplo de aplicación:  El festival de English day de la Institución Educativa Casilda Zafra de Santa Rosa de Viterbo ofrece incentivos a los niños que  clasifiquen  en los tres primeros puestos.  Si en el festival en la categoría solista (primaria) participan: Juana (J), Luis (L), Valentina (V) y Pedro (P).

a. Elaborar el diagrama de árbol correspondiente.

b. ¿De cuántas formas diferentes los estudiantes podrían ganar los premios? Utilice el principio de multiplicación con varios eventos.

c.  ¿De cuántas formas diferentes los estudiantes podrían ganar los premios y a última hora incluyen a María (M)? Utilice el principio de multiplicación con varios eventos.

Solución:

a.  Para elaborar el diagrama de árbol se utiliza las letras asignadas a cada estudiante. El diagrama de árbol es así:

Evaluación

Ejercicios de aplicación

Tomado de los caminos del Saber matemáticas 8° Santillana página (321).

Retroalimentación a la evaluación sobre principio de alimentación con varios eventos